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Tach zusammen!

Was nun kommt ist kein Rätsel im herkömmlichen Sinne:

Ich habe in Erinnerung mal gehört zu haben, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens 4 Quadratzahlen darstellen lässt.

Kommt diese Aussage jemandem bekannt vor?
Ist sie richtig, und wenn ja, kann es jemand beweisen?

Der Abstand der Quadratzahlen ist 2*x+1(x ist die kleinere Quadratzahl)

Ich würd jetzt mal pauschal sagen, dass der Abstand nicht mehr als 4mal x sein darf.

2*x+1<4x
x>0.5

Also müsste das für jede natürliche Zahl gehen...

Das Problem ist nur, dass ich damit noch nicht bewiesen habe, dass jede Möglichkeit dazwischen geht.

Hm, das Beispiel 24 schaff ich nicht zu zerlegen.
9+9+4+1 ist 23
9+9+9 ist schon 27
9+4+4+4 ist 21
9+9+4+4 ist 26
Ich glaub, ich hab schon ein Gegenbeispiel gefunden

24 = 16 + 4 + 4.

Ich hab bis jetzt noch kein Gegenbeispiel gefunden...
Man könnte mal ein Programm schreiben, dass die Behauptug überprüft (obwohl das noch lange kein Beweis wäre...)

okay, stimmt, 24 ist noch kein Gegenbeispiel.

Eigentlich müsste es doch gehen, oder?

4*x ist später sehr viel größer als 2*x+1, also hast du durch die 4en und 1en genug Möglichkeiten, die einzelnen Abstände auszugleichen.

Aber ein Beweis ist das auch nicht...

Es existiert ein Beweis.

Er ist Lang. (2-3 1,5h Vorlesungen in Zahlentheorie;ich kenn ihn nicht mehr auswendig könnte aber aus meinen Aufzeichnungen abschreiben)

Er setzt viel voraus. (wilson; Legendresymbol;Restklassenkörper...)

Er lässt sich Verallgemeinern (höhere Potenzen:
Kuben: man bracht 9; 4. Potenzen: man braucht 19; 5. man braucht 37)

eine ausführliche Darstellung des Standardbeweises (so wie ich ihn auch beim Studium kennengelernt habe) findet sich z.B. auf

http://www.carsten-buschmann.de/skripte/zahlenth.pdf

auf den Seiten 78-80.

Man sehe mir nach, dass ich es nicht abtippe.

Ist aber einn schöner, eleganter Beweis...

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