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Ein ziemlich einfaches Rätsel, aber ich find es ganz witzig^^


Man nehme eine beliebige dreistellige Zahl. Z.B. 123

Durch Verdopplung dieser Zahl erhält man eine sechsstellige Zahl, also 123123.

Man beweise, dass ALLE die so gemachten Zahlen durch 13 teilbar sind!

Viel Spass

Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist. Teilbar heißt hier, dass die Zahl Modulo 13 gleich 0 sein muss.

Wir haben eine Zahl der Form abcabc (mit den Ziffern a, b, c).

Die alternierende 3er-Quersumme der Zahl abcabc ist

abc - abc = 0

0 ist durch 13 teilbar, also ist abcabc durch 13 teilbar.

das ist doch kein beweis^^


du setzt was vorraus, was du erstmal beweisen musst

Zahl der Form abcabc ist wohl offensichtlich 1001*abc, also wohl 13*77*abc und damit durch 13 teilbar

Stimmt, damit ist abcabc natürlich auch durch 7 und 11 teilbar.

@drakar:
Was ist an Trancetips Lösung auszusetzen?
Die Teilungsregel für 13 kann man als bekannt voraussetzen.
Vielleicht nicht so elegant wie fdks antwort, aber das wär auch meine erste Antwort gewesen.

ok ist ja gut, die antwort mit 1001 reicht mir vollkommen

Hi
jetzt müsst ihr mir mal erklären warum ihr das ganzi mal 1001 nimmt ?

Naja, die Zahl abcabc ist doch offensichtlich 1000*abc + abc, also 1001*abc.

Das Stimmt. Es gilt auch für 2-stellige zahlen, z.B. 121212 von 1 bis 99.
Auch größere zahlen, z.b. 123412341234 sind durch 13 teilbar. Die theoretische Definition wäre dann, dass eine n-stellige Zahl, die sich n-1 mal wiederholt, durch 13 teilbar ist. tja, die mathematik ist lustig.

Nö, das stimmt so nicht. Man braucht sich nur die Primfaktoren anzuschauen:

101 (entspricht 1212): 101

1001 (entspricht 123123): 7 11 13
100010001 (entspricht 123412341234): 3 7 13 37 9901
1000010000100001 (entspricht 12345123451234512345): 11 101 3541 9091 27961

Es gibt keinen Faktor, der in allen Varianten enthalten ist.

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