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Ein Bauer stellt beim Zählen seiner Tiere fest, dass die Anzahlen seiner Pferde, Kühe und Hühner drei verschiedene Primzahlen sind. Außerdem fällt ihm auf, dass die Anzahl der Kühe multipliziert mit der Summe aus der Kühezahl und Pferdezahl um 120 größer ist als die Anzahl der Hühner.

Wieviele Tiere jeder Art hat der Bauer?

Annahme 1: Alle Anzahlen sind ungerade. Dann ist die Summe von Pferden (P) und Kühen (K) gerade und das Produkt aus Kühen und der Summe abzüglich 120 auch. Dann müsste die Hühneranzahl (H) auch gerade sein. Widerspruch zur Annahme

Annahme 2: Hühneranzahl ist gerade, also 2.
Dann ist K*(K+P)=122. Primfaktoren von 122 sind 2 und 61. Es funktioniert also mit K=2 und P=59. Allerdings ist dann K=H
Geht also auch nicht. Hühneranzahl ist also ungleich 2

Annahme 3: Pferdeanzahl ist gerade, also 2

Dann geht das Ganze z.B. mit K=11 und H=23

Ob es andere Lösungen gibt, weiss ich nicht. Vielleicht findet ja jemand noch eine Lösung oder einen Beweis, dass es keine weitere Lösung gibt.

Annahme 4: Küheanzahl ist gerade, also 2

Dann ist das Produkt auch gerade und damit auch die Hühneranzahl, die dann auch 2 sein müsste. Widerspruch dazu, dass alle Anzahlen unterschiedlich sind. Ausserdem müsste P=58 sein und das ist ja auch keine Primzahl.

Yep, völlig richtig!

Gibt es denn mehr Lösungen?

Nein, das ist die einzige Lösung.

Die Lösung ist einfach herzuleiten:

Oben wurde bereits gezeigt, dass P = 2 sein muss: es können nicht alle 3 Zahlen von 2 verschieden sein und weder K noch H kann 2 sein. Also ist P = 2.

Die Gleichung ist dann

K*(K+2) = 120 + H
K^2 + 2*K - 120 = H
(K+12)*(K-10) = H

Da H eine Primzahl ist, muss genau einer der beiden Faktoren von H gleich 1 sein. Also ist entweder K = -11 oder K = 11. Ersteres scheidet aus, da keine Primzahl. K ist also 11 und folglich H = 23.

888xuerong-4:
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Anzahl der Hühner ist Primzahl. Dann ist die Zahl entweder 2 oder ungerade. 2 ist unmöglich weil 122=61*2 Pferd kann nicht wieder 2 sein.
Dann ist es einfach, Hühner ungerade---Kuh*(Kuh+Pferd) ungerade---Pferd=2

(x+1)(x+1)=Anzahl der Hühner +121
(x+12)(x-10)=Anzahl der Hühner=Primzahl
So ist x=11
11Kühe, 23 Hühner, 2 Pferde