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LOL wie geht das denn??

Folgendes Paradoxon hat Zenon von Elea ca. 500 vor Christus formuliert:

Achilles und die Schildkröte laufen um die Wette. Da Achilles zehnmal so schnell wie die Schildkröte läuft, bekommt die Schildkröte einen Vorsprung, z.B. einen Meter. Eigentlich müsste Achilles die Schildkröte schon bald überholen. Zenon argumentiert, dass das aber niemals passieren kann. Achilles wird die Schildkröte niemals überholen.

Zenon begründet das folgendermaßen: Wenn Achilles den Startpunkt s1 der Schildkröte erreicht hat, dann hat sich die Schildkröte zum Punkt s2 weiterbewegt, hat also immer noch einen Vorsprung vor Achilles. Sobald Achilles den Punkt s2 erreicht, ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter zum Punkt s3 gelaufen. Usw. Achilles kann niemals an der Schildkröte vorbeikommen, denn immer, wenn Achilles den Punkt erreicht, an dem die Schildkröte vormals war, ist sie schon wieder ein Stück weiter.

Die Anschauung und Erfahrung sagt uns deutlich, dass Achilles die Schildkröte schon sehr bald leichtfüßig überholen müsste. Andererseits stellt Zenon eine Argumentationskette auf, nach der das nicht möglich ist. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten: Zenon hat Unrecht, oder die Mathematik weist einen gehörigen inneren Widerspruch auf.

Welche dieser Möglichkeiten trifft zu? Und warum?

ich würd mal sagen, um herauszufinden, wer schneller ankommt bzw. wer wen überholt, sollte man das einfach mal mathematisch ausrechnen.

Schildkröte:ax+b
Achilles:cx

Schnittpunkt x=b/(a-c)

Logisch betrachtet ist es auch klar, dass er die Schildkröte überholen wird.

Allerdings ist das Gedankenspiel sehr schwierig zu entkräften. Als Argument würd ich nur anführen, dass wenn man das Beispiel in ein Koordinatensystem einträgt, man sieht, dass die x-Achse nicht linear ansteigt und damit haben wir keine lineare Funktion mehr, was die Vorraussetzung war!

Sag ma hast du Mathe studiert oder was??

Das Ding zu entkräften und noch verständlich zu erklären.......
Allerdings hab ich ka wie du auf die Gleichungen da kommst.

Respekt!

@drakar: Damit hast du nicht zenon widerlegt. Du hast gesagt, das archilles die Schildkröte überholt, das war schon vorher klar.


Was soll das heissen??


das ist eine lineare Fkt, ausserdem war das nicht die vorraussetzung.


Das spiel, das die schildkröte läuft und archilles hinterher, findet zwar tatsächlich unendlich oft statt. Die distanz die die Schildkröte in jeder Runde zurücklegt wird jedoch immer kleiner, und zwar so schnell kleiner, das die Gesamte Strecke sich einem Grenzwert annähert. Dieser Grenzwert ist grade der Punkt wo Achilles die Schildkröte einholt.

So wie zenon das ausdrückt, denkt man aber, das wenn man unendlich oft eine (beliebig) kleine Strecke zurücklegt, das man dann eine unendliche Strecke zurückgelegt hat. Das stimmt aber so nicht und das ist zenons Denkfehler.

Ich mach dazu nochmal ein Rechenbeispiel.

Achilles (A) läuft 10 meter/sekunde
Schildkröte (S) läuft 1 meter/sekunde
Vorsprung: 10m

nach 1 sekunde und 10 metern ist A da wo S war.
S ist in der Zeit 1 m gelaufen

nach weiteren 0,1 sek ist A wieder da, in dieser zeit ist S um 10 cm weitergelaufen.

danach sind es 0,01 Sekunden, usw.

Nachdem man das unedlich oft gemacht hat sind 1,1periode sekunden vergangen, uns es wurde eine strecke von 11,1periode metern gelaufen.

11.1 Meter ist eben genau der Punkt wo Achilles die Schildkrte einholt.

Lauter Mathestudenten hier

so ungefähr meinte ich das mit

"die x-achse ist nicht mehr linear", da die einteilung immer kleiner wird und sich asymptotisch einem Wert nähert, der halt in deinem Beispiel 11,1 entspricht.

Is halt nur schwierig zu formulieren.

PS: Ich studiere kein Mathe, geh noch zur Schule

Ganz einfach: Zenon hat die Infinitesimalrechnung, konvergente Reihen etc. entdeckt. Seine Argumentation ist unsinnig, da sich mit jedem als von ihm definierten Schritt der Maßstab in beiden Dimensionen (Strecke und Zeit) proportional ändert. Damit ergibt sich überhaupt kein Widerspruch.

qingmin1:
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